Толқындық функция. Шредингер теңдеуі

Шредингер теңдеуі.

Микробөлшектердің толқындық қасиеттері айқындалғаннан кейін, классикалық механика олардың беталысын дұрыс сипаттай алмады. Сондықтан, осы бөлшектердің толқындық қасиеттерін де ескеретін микробөлшектер механикасын құру қажеттілігі туындады. Шредингер, Гейзенберг, Дирак және т.б. құрған жаңа механика кванттық механика деп аталды.

Кванттық механиканың негізгі теңдеуі – Шредингер теңдеуі.

Әуелі жазық толқынның теңдеуін еске түсірейік.

Жазық толқынның теңдеуі

Тербелістің ортада таралу процесін толқын деп атағанбыз. Жазық толқын деп тұрақты жиілігі бар, және шексіз жазықтықтардан тұратын толқындық шебі таралу жылдамдығына перпендикуляр болатын толқынды айтады. уақыт мезетінде толқын жеткен нүктелердің геометриялық орнын толқын шебі (фронты) деп атайды). Жазық толқынның теңдеуі деп тербелетін нүктенің ығысуы оның координаталары мен уақытының функциясы ретінде берілген өрнекті айтамыз. Егер ығысуды қандай да бір әрпімен белгілесек, онда жазық толқынның теңдеуі:

ξ = ξ( ) (1)

(1) функциясы координаталарға және уақытқа қатысты периодты болу керек. Тербеліс гармониялық деп санағандағы, жазық толқынның ξ функциясының түрін табайық.

өсін толқынның таралу бағытымен бағыттайық. Сонда, толқындық беттер өске перпендикуляр болады. Осы шарт үшін (1) теңдеу ξ = ξ( ) түрінде жазылады.

Айталық, 0 жазықтығында жатқан нүктелер тербелісі мынадай болсын:

ξ = ξ( ) =

Енді, еркін алынған мәніне сәйкес келетін жазықтықтағы бөлшектер тербелісін жазайық. 0 жазықтықтан осы жазықтыққа дейін жету уақыты:

толқынның таралу жылдамдығы. Демек, жазықтықта жатқан бөлшектердің тербелістері 0 жазықтығындағы бөлшектердің тербелісінен уақытқа қалып отырады, яғни тербелісі мынадай болады:



ξ = ξ( ) = .

Сонымен жазық толқынның теңдеуі мына түрде болады:

ξ = (2)

Мұнда, ξ шамасы координатасы бар кез келген нүктенің уақыт мезетіндегі ығысуы.

Бұл теңдеуді толқындық сан арқылы жазуға болады:

(3)

, яғни

(4) –жазық толқынның теңдеуі

Толқындық функция. Шредингер теңдеуі

Классикалық механика үшін Ньютонның қозғалыс теңдеулері қандай болса, кванттық механикаға да осындай теңдеу қажет болды. Бізге белгілі: Ньютон теңдеулері макроскопиялық денелер үшін механиканың негізгі мәселесін шешуге мүмкіндік береді . Бұл мәселе: денеге әсер ететін берілген күштер және белгілі бастапқы шарттар (дененің координаталардың бастапқы мәндері мен жылдамдығы) бойынша кез келген уақыт мезеті үшін дененің координаталары мен жылдамдығын табу, яғни дененің қозғалысын кеңістік және уақыт бойынша сипаттау. Осындай мәселені кванттық мехникаға енгізгенде микродүние бөлшектерінің екіжақтылық табиғаты бар екенін және бұл мұндай бөлшектерге координата мен жылдамдық (импульс) жайлы классикалық түсініктерді қолдану мүмкіндіктеріне шектеу қоятынын бірден ескеру керек. Де Бройль толқыны мен анықталмағандық қатыстардың ықтималдық (статистикалық) түрде түсіндірілуі кванттық механикадағы қозғалыс теңдеулерінің бөлшектердің тәжірибеде бақыланатын толқындық қасиеттерін түсіндіретіндей болу керектігін көрсетеді. (довершить из ур. Шред-ра, pdf)



Бұл теңдеуге мынадай ой жүгіртумен келуге болады. Электрондардың дифракциясының тәжірибесінен бөлшектердің параллель шоғы бөлшектердің қозғалыс бағытымен тарайтын жазық толқынның қасиетіне ие болатыны айқындалған. өсі бағытымен таралатын айнымалы электр өрісі кернеулігінің векторы үшін жазық толқынның теңдеуі:

(1)

Кванттық механикада микробөлшектердің күйі координаталар мен уақытқа тәуелді комплексті функциямен сипатталады.

толқындық функция (пси функция). Ол Шредингер теңдеуі деп аталатын дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады.

Бұл функцияның физикалық мағынасы – толқындық функцияның модулінің квадраты

(2)

микробөлшекті берілген жерде, атап айтқанда координатасы болатын нүктеде табу ықтималдығының тығыздығын анықтайды (яғни бірлік көлемге қатысты алғандағы ықтималдық). Сонда, осы функцияны табу – кванттық механиканың негізгі мәселесі болып табылады.

көлем шекарасында бөлшекті табу ықтималдығы : . Ықтималдықтың тығыздығы координаталардың (не ) бірмәнді функциясы болу керек жіне шексіздікке тең болмау керектігінен Ψ функциясының мына шарттарды қанағаттандыру керектігі шығады: ол бірмәнді болу керек, барлық жерде шекті және үзіліссіз болу керек.

Сонда шексіз кеңістікте болатын бөлшектің Ψ функциясының нормалау шарты мына теңдікпен жазылады:

(*) интегралы - бөлшекті кеңістіктің қайсыбір жерінде табу ықтималдығын білдіреді, ал бұл – сенімді оқиғаның ықтималдығы, демек ол 1-ге тең.

Кислов Пример№1 и Пример №2 (к туннельному эффекту)+Колмаков Тула

Біз релятивистік емес, яғни кезіндегі кванттық механиканы қарастырамыз. Бұл кезде толқындық функция Шредингер теңдеуінің шешуінен табылады.

Енді, де-Бройль бойынша толқындық оптикамен аналогия жүргізейік: жарықтың қарапайым монохромат толқыны жарық векторы (айнымалы электр өрісі кернеулігінің векторы) үшін жазылған (1)-теңдеумен өрнектеледі

Де Бройль бойынша толқындық функцияға көшсек:

немесе комплексті түрде жазайық.

Ол үшін формуласын ескеріп, мұның нақты бөлігін ғана алайық (жоғарыдағы теңдеумен сәйкестендіру үшін). Сонда:

Де Бройль гипотезасы бойынша

Кванттық теория бойынша , бұдан . Толқындық сан , де Бройль бойынша , онда . Осыларды ескерсек:

(3)

(3)-формуламен өрнектелген толқындық функция берілген импульсі бар еркін микробөлшекті (электрон, протон т.б.) сипаттайды. (2) формула бойынша толқындық функцияның модулінің квадраты бөлшектің берілген жерде (мысалы, қайсыбір нүктесінде) болу ықтималдығының тығыздығын анықтағандықтан, (3)-формуланы (2)-ге қояйық:

(4)

(4)-өрнектен: еркін бөлшектің қайсыбір нүктеде болу ықтималдығының тығыздығы -ке тәуелсіз тұрақты шама және координатаның кез келген мәнінде бірдей болады. Бұл - бөлшектің кез келген нүктеде бірдей ықтималдықпен бола алатынын білдіреді. Демек Гейзенбергтің анықталмағандық принципімен сәйкес келеді, ол бойынша бөлшектің импульсінің анықталмағандығы нөлге ұмтылса, координатанығ анықталмағандығы шексіздікке ұмтылады. шамасымен аналогия жүргізіп, шамасын ықтималдықтың амплитудасы деп атаймыз.

Шредингер теңдеуін жазу үшін

1) функцияны еркін бөлшекке қатысты аламыз

(5)

Толқындық функция өрнегіне толық энергия мен бөлшектің импульсі кіреді.

2) Толық энергия E, потенциялық энергия U және импульс p арасындағы байланыс:

немесе (6)

Еркін бөлшек үшін потенциялық энергия .

(5) өрнектегі функцияны t уақыт бойынша бір рет және бойынша екі рет дифференциалдайық:

(7)

(8)

(7)-ден толық энергияны Е табайық:

(9)

( екенін ескердік)

(8)-ден –ты табайық:

(10)

өрнегін (9), (10)-дарды ескеріп жазайық:

, бұдан (11)

Бұл еркін бөлшек үшін Шредингердің бір өлшемді теңдеуі деп аталады.

Егер толқынның бағыты (не не ) өсімен сәйкес келмесе, онда тербеліс фазасы барлық , координаталарына тәуелді болады. Бұл жағдайда (11)-дифференциалдық теңдеудің түрі мынадай болады:

Немесе Лаплас операторы арқылы жазсақ:

(12)

Бұл теңдеу еркін бөлшек үшін Шредингер теңдеуі деп аталады.

Егер потенциялық энергиясы бар ( ) еркін емес бөлшекті қарастырсақ, онда (6) формула бойынша (12) өрнек мына түрде жазылады:

(13)

Бұл теңдеу Шредингердің (1926 ж.) уақытқа қатысты (не уақыттық) теңдеуі деп аталады. (13) теңдеуден функциясының түрі потенциалдық энергиямен анықталады, яғни бөлшекке әсер ететін күштердің сипатымен анықталады. Жалпы алғанда энергия координаталар мен t уақыттың функциясы болып табылады. Күш өрісі уақыт бойынша өзгермеген кезде, яғни стационар жағдай үшін уақытқа тәуелсіз болады. Бұл кезде толқындық функцияны екі көбейткішке бөлуге болады: оның біреуі тек уақытқа ғана тәуелді, екіншісі – тек координаталарға ғана тәуелді:

( )

( ) (14)

(бұл теңдеуде екінші көбейткішті ( ) функциямен белгіледік).

Шынында да, егер (14)-функцияны (13)-теңдеуге қойсақ ( (13)):

Теңдіктің оң жағындағы жақшаны ашып, көбейтейік:

шамасына қысқартамыз:

. Теңдіктің оң жағына шығарамыз:

(15)

Не қысқаша жазсақ:

(15)

(15)-теңдеу стационар күй үшін Шредингер теңдеуі (немесе, уақыттың қатысы жоқ Шредингер теңдеуі) деп аталады. Кейде жай Шредингер теңдеуі деп те атайды.

Бөлшек орналасатын өрісі белгілі деп есептеледі. Шредингердің (15)-теңдеуі арқылы берілген өрісте бөлшектің Ψ толқындық функциясын да, және оның Е толық энергиясының барлық рұқсат етілген мәндерін де табуға болады. Ол үшін Шредингердің дифференциалдық теңдеуін шешкен кезде Ψ функциясы не бөлшекті табудың ықтималдық тығыздығы үшін міндетті түрде шекаралық шарт қою керек. ықтималдық та, Ψ толқындық функция да секірмелі емес жатық өзгеру керек.

Еркін бөлшек – күштік өріс жоқ болғанда, яғни кезде бөлшек тұрақты жылдамдықпен қозғалады.


7828889728188939.html
7828930869849871.html
    PR.RU™